Илья Прокофьевич Алексеенко родился в селе Глотово Грайворонского района Белгородской области в бедной крестьянской семье. В 1913 году окончил начальное четырёхклассное училище. В 1915 году в поисках лучшей жизни уехал в Ростов-на-Дону, где работал чернорабочим на макаронной фабрике. Через два года вернулся домой. Весной 1918 года добровольно вступил в Красную Армию и был зачислен в состав 74-го Курского пехотного советского полка. Со своим полком прошёл от Белгорода до Таганрога, участвуя в боях против немецких оккупантов, гайдамаков, белогвардейцев. В апреле 1919 года был направлен сначала на Курские пехотные командные курсы, а затем на 1-е Московские пулемётные курсы, после окончания которых, командовал пулемётным взводом в составе 12-ой армии на Юго-Западном фронте. Был дважды ранен. Его заслуги в гражданской войне отмечены орденом Красного Знамени.
В мае 1931 года Илья Алексеенко был направлен в Ленинград на курсы усовершенствования командного состава, где он осваивал бронетанковую технику.
В 1939 году 11-я легкотанковая бригада полковника Алексеенко принимала участие в боевых действиях на Халкин-Голе. Советское правительство удостоило командира дивизии орденом Ленина, правительство Монгольской Народной Республики наградило орденом Красной Звезды. В марте 1941 года он в звании генерал-майора танковых войск назначен командиром 5-го механизированного корпуса 16-ой армии Забайкальского военного округа.
С началом войны корпус под командованием генерала Алексеенко был передислоцирован и в июле включён в состав Западного фронта. В ходе Смоленского сражения 5-й механизированный корпус 20-й армии был окружён и с 10 по 11 июля вёл боевые действия в окружении, затем прорвав вражеское кольцо, вышел из окружения в районе Орши. За умелое руководство корпусом 1 августа 1941 года генерал Алексеенко был награждён орденом Ленина. В наградном листе командующий 20-ой армии генерал Курочкин отмечал: «Умело выводил дивизии из сложных положений боя. Своим личным примером и бесстрашием в бою воодушевляет подчиненных командиров…».
Корпус генерала Алексеенко вёл ожесточённые бои в районе Смоленска. В конце июля враг нанёс сильные фланговые удары по нашим армиям и окружил их. Части и соединения 20-й армии вновь прорвали окружение.
В этих боях 2 августа 1941 года генерал-майор танковых войск Илья Прокофьевич Алексеенко был ранен в районе Соловьёвской переправы и 3 августа умер от ран в Вязьме. Похоронен на Екатерининском кладбище города.
Награждён двумя орденами Ленина, орденами Красного Знамени, Красной звезды, Юбилейной медалью "ХХ лет Рабоче-Крестьянской Армии".